Las secciones cónicas


Las secciones del cono

El primer libro importante sobre las cónicas lo publicó Apolonio de Perga. Se supone que vivió entre los años 262 y 190 a.C.. El primero en publicar una traducción al latín fue Halley, astrónomo y discípulo de Newton. Pero las secciones cónicas se conocían más o menos 150 años antes de que Apolonio publicara su tratado. Son 4 las curvas que reciben el nombre de cónicas: circunferencia, elipse hipérbola y parábola. Vamos a explicar ahora cómo Apolonio definió estas curvas mediante las secciones que determina un plano en una superficie cónica.

El cono

Una superficie cónica de revolución, o cono de revolución, se obtiene al hacer girar una recta r alrededor de una recta s, fija, llamada eje, de manera que ambas se cortan en un punto V, llamado vértice del cono. Cualquier recta g que pasa por V y contenida en la superficie cónica recibe el nombre de generatriz (fig. 1)

Fig 1

Fig 2

Las cónicas

Sea un plano que no pasa por el vértice y que corta a la superficie cónica. Entonces dependiendo de la posición del plano al cortar a la superficie cónica (Figura - 2) se obtienen las siguientes secciones:

Circunferencia

Elipse

Hipérbola

Parábola

 

En la intersección de un plano con una superficie cónica, cuando el plano pasa por el vértice se pueden presentar otras tres posibilidades que dan lugar a intersecciones que reciben el nombre de cónicas degeneradas.

Dos rectas

Un punto

Una recta

 

Caracterización de las cónicas

La elipse

La elipse se obtiene al hacer que un plano intersecte a una superficie cónica de forma que corte a todas sus generatrices y no siendo perpendicular el eje de la superficie cónica. Vamos a estudiar qué propiedad p caracteriza a todos los puntos de la elipse. La Figura 3 se construye según se explica a continuación.

Figura 3

Una vez trazado el plano que corta a todas las generatrices del cono (y que contiene a la elipse), construimos dos esferas inscritas a la superficie cónica y tangentes al plano . Estas esferas también son tangentes a la superficie encerrada dentro de la elipse en dos puntos que vamos a llamar F1 y F2.

La esfera superior corta a la superficie cónica en una circunferencia que vamos a llamar C1 y a la esfera inferior (la grande) en otra circunferencia que llamamos C2

Sea P un punto cualquiera de la elipse. Trazamos la generatriz que pasa por él: es decir, la recta que une el vértice del cono con el punto P. Esta recta también es tangente a las esferas grande y pequeña, así como a las circunferencias C1 y C2 en dos puntos que llamamos M' y M (respectivamente).

Trazamos los segmentos PF1 y PF2. Ambos son tangentes, respectivamente, a la esfera grande y a la esfera pequeña, ya que ambos segmentos están contenidos en el plano, que a su vez es tangente a ambas esferas.

Vamos a demostrar que PF1 + PF2 es constante independientemente del punto P.

a) Si desde un punto exterior a una esfera trazamos dos tangentes situadas en el mismo plano los segmentos desde el punto a los puntos de tangencia son iguales. Por tanto, PM = PF1 y además PM' = PF2.

b) Sumando término a término estas dos igualdades obtenemos: PF1+PF2 = PM + PM'. Ahora bien: la longitud del segmento MM' no depende del punto P; es el segmento de generatriz entre las dos esferas. Por ello PF1+PF2 es constante.

En consecuencia la elipse, se puede definir de la siguiente forma: lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de distancias a dos puntos fijos llamado focos, es constante

Otra forma de conseguir una elipse

Partiendo de la siguiente figura y con un razonamiento muy similar al anterior, no es difícil demostrar que la sección que determina un plano, que corta oblicuamente a un cilindro, es también una elipse.

 

La hipérbola

Si un plano corta a una superficie cónica de manera que atraviesa a todas las generatrices, excepto a dos, respecto a las cuales es paralelo, determina sobre ella una hipérbola. Observa la siguiente figura. Más abajo tienes la forma en que ha sido construida.

Figura 4

Sea p un plano paralelo a dos generatrices, que corta a todas las demás. Ello significa que determina sobre la superficie cónica una hipérbola.

Igual que en el caso de la elipse, trazamos dos esferas inscritas en los conos y tangentes al plano: sean F1 y F2 los dos puntos de tangencia de las esferas con el plano

Sean C1 y C2 las dos circunferencias que determinan ambas esferas sobre la superficie cónica.
Sea P un punto cualquiera de la hipérbola. Los segmentos PF1 y PF2 son tangentes a las esferas (de color verde en la Figura 4), puesto que ambos están contenidos en el plano p.

La generatriz que pasa por P determina sobre C1 y C2 dos puntos G y H

Vamos a demostrar que cualquiera que sea P se cumple que PF2 - PF1 es constante.

a) Se cumple que PF2 = PG puesto que ambos segmentos son tangentes a la esfera y se cumple que PF1 = PH por la misma razón que antes.
b) Restando término a término PF2 - PF1 = PG - PH = GH. Pero igual que en el caso de la elipse, la longitud del segmento GH no depende del punto P; es un segmento de generatriz entre las dos esferas. Por ello PF2 - PF1 es constante, tal y como queríamos demostrar.

No es muy difícil demostrar que los puntos que no son de la hipérbola no cumplen la condición anterior

Por tanto, la hipérbola se puede definir de la siguiente forma: lugar geométrico de los puntos del plano tales que la diferencia de distancias a dos puntos fijos llamado focos, es constante

La parábola

Un plano que corta a una superficie cónica paralelo a una sola generatriz determina una parábola sobre ella. Buscamos caracterizar a todos los puntos de la parábola, es decir determinar una propiedad que solamente ellos cumplan. La Figura 5 se construye de la siguiente manera:

Figura 5

 

Sea p un plano paralelo a una sola generatriz. Trazamos la esfera inscrita en la superficie cónica y tangente al plano p: sea F el punto de tangencia de la esfera y el plano. Por otro lado la esfera determina en la superficie cónica una circunferencia C. El plano en que contiene a C corta a p en una recta que llamamos d. Vamos a demostrar que si P es un punto cualquiera de la parábola entonces d(P,F) = d(P, d).

Sea g la generatriz que pasa por P; dicha generatriz corta a C en un punto M. Entonces tendremos:


a) Sabemos que dos planos paralelos determinan sobre dos generatrices de la cónica segmentos iguales. Por ello PM = HT. (*)
b) Por otro lado HT = RQ (**), ya que ambos segmentos están determinados por planos paralelos sobre rectas paralelas.
c) Además RQ = PD (***) ya que ambos segmentos están sobre rectas paralelas y están determinados por planos paralelos.
d) De las relaciones (*), (**) y (***) obtenemos que PM = PD (2)

Por otro lado PM = PF (1), ya que ambos segmentos son tangentes a la esfera desde el punto P.

De (1) y (2) se concluye que PD = PF, con lo cual queda demostrado que cualquier punto P de la parábola cumple que d(P,F) = d(P, d).

No es muy difícil demostrar que los puntos que no son de la parábola no cumplen la condición de equidistar de F y d

Por tanto, la parábola se puede definir de la siguiente forma: lugar geométrico de los puntos del plano tales que equidistan de un punto fijo llamado foco, y una recta llamada directriz, que no pase por el foco

La circunferencia

Si el plano, es perpendicular al eje del cono, cortando a todas las generatrices, determina sobre la superficie cónica una circunferencia. La circunferencia se puede definir de la siguiente forma: lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a un punto fijo llamado centro, es una cantidad constante llamada radio.