Circunferencias del triángulo y puntos notables

A lo largo de los siglos el interés de los matemáticos por el triángulo ha sido enorme, por lo que se conocen muchas de sus propiedades. Los geómetras de la grecia clásica lo estudiaron con tanta profundidad, que difícilmente se podría pensar en encontrar novedades sobre la figura geométrica más sencilla. Pero sin embargo se están descubriendo contantemente teoremas nuevos sobre el triángulo, aunque estos teoremas se complican tanto, que pierden elegancia y belleza, convirtiéndose en demasiado áridos y complejos como para ser estudiados en un curso elemental de geometría.

¿Es posible que algún teorema sencillo y elegante quede por encontrar y demostrar? No es fácil que sea así, pero no es imposible. Si te gusta investigar, aquí tienes un campo … es posible que descubras cosas ya descubiertas, pero eso no es nuevo: les ha pasado a muchos. Y tampoco hay que desengañarse. Ya llegará el momento en que descubras cosas nuevas, que antes nadie había pensado. Pero seguramente para eso ha de pasar un poco de tiempo.

Vamos a empezar por ver algunos resultados que habitualmente no se suelen ver en los libros sobre geometría plana elemental, pero que resultan ser muy elegantes:.

Uniendo los centros con triángulos hacia afuera

Uniendo los centros con triángulos hacia adentro

Uniendo los centros con dos triánfulos hacia afuera y uno hacia adentro

Pero además sigue siendo válido incluso cuando el triángulo degenera en un segmento, tal y como se observa en la siguiente figura:

Martin Gardner
Circo matemático

Los teoremas que aparecen a continuación son clásicos, conocidos desde hace miles de años, pero no por ello resultan menos elegantes. Veamos primero algunas definiciones fundamentales sobre el triángulo.

Puedes ver cómo se obtiene el centro y radio de una de las circunferencias exinscritas de un triángulo aquí. (clic)

No conozco las demostraciones de estas afirmaciones. Puede ser interesante buscarlas y entenderlas. Cuentas con la ventaja de que no son complicadas de entender. Así que anímate.

Te hago una propuesta para que investigues ¿Nunca te has parado a pensar porqué los tres ángulos de un triángulo tienen que sumar 180º?. ¿Porqué no son 160º por ejemplo?: ¿Es muy difícil demostralo?. ¿En qué axioma hay que apoyarse? ¿Qué sabes del axioma de Euclides? ¿Sabes algo de las geometrías no euclidianas? Aquí aparece un capítulo importante de las Matemáticas del cual vale la pena conocer algo.