Multiplicación de Matrices: ejercicios resueltos

El objetivo de esta secuencia es demostrar las propiedades básicas del producto de matrices: no conmutatividad, distributividad (con respecto a la ley de adición de matrices) así como la asociatividad. El conocimiento de estas demostraciones no es esencial para el dominio del cálculo matricial, pero se recomienda esta secuencia porque permite al estudiante familiarizarse con el formalismo matricial.

TABLA DE CONTENIDOS

    ¿Qué es multiplicación de matrices?

    Una matriz n × m es una matriz de números con n filas y m columnas:

    Ejemplo con n = 2, m = 3 :

    n y m son las dimensiones de la matriz.

    Una matriz se simboliza con una letra en negrita, por ejemplo la A. Aij es el elemento en la intersección de la fila i y la columna j (la fila siempre se nombra primero).

    La matriz general de elementos Aij se denota [Aij]. Por lo tanto, tenemos : A = [Aij]

    Si m = 1, la matriz se denomina vector (más concretamente, vector-columna):

    N.B.: En este capítulo utilizaremos mayúsculas para las matrices y minúsculas para los vectores, pero no es obligatorio.

    Si n = m, la matriz se llama matriz cuadrada.

    Algunas matrices cuadradas especiales (Ejemplos con n = 4)
    Matriz de unidades A veces se observa En
    n es la dimensión de la matriz
    (es decir, I4 en este ejemplo)
    Matriz diagonal anotada diag(Dii)
    Matriz triangular superior
    (Matriz triangular superior, U)
    Matriz triangular inferior
    (Matriz triangular inferior, L)
    Se dice que una matriz cuadrada A es simétrica si :

    Aji = Aij
    para todo i diferente de j

    II. Operaciones con matrices

    II.a. Suma, resta

    La suma y la resta de matrices se realizan término a término. Las matrices deben tener las mismas dimensiones:

    II.b. Multiplicación por un número

    Cada término de la matriz se multiplica por el número :

    II.c. Transposición

    La transposición AT (también denominada A') de una matriz A es la matriz que se obtiene intercambiando las filas y columnas de A:

    La transposición de un vector columna es un vector fila:

    II.d. Multiplicación de matrices

    Definamos primero el producto de un vector línea xT y un vector columna y :

    Este producto se llama producto escalar de los vectores x e y, denotado x - y. Los vectores deben tener la misma dimensión.

    El producto matricial deduce de esto: el producto de la matriz A (n × m) por la matriz B (m × p) es la matriz C (n × p) tal que el elemento Cij es igual al producto escalar de la fila i de la matriz A por la columna j de la matriz B.

    Ejemplo :

    Efectivamente, al realizar los productos fila por columna :

    Propiedades:

    El producto matricial es :

    asociativo: ABC = (AB)C = A(BC)
    distributiva con respecto a la adición: A(B + C) = AB + AC
    no conmutativo: AB no es igual a BA en general.

    La matriz unitaria I es neutra para la multiplicación: AIm = InA = A, si la matriz A es de dimensión n × m.

    Transposición de un producto: (AB)T = BTAT (¡Cuidado con el cambio de orden!).

    Algunos productos especiales:

    (x e y son vectores columna, A es una matriz)

    Cuadrado escalar.
    Su raíz cuadrada (xTx)½ se llama norma del vector (anotado)
    Producto exterior de los vectores x e y
    (Matriz del elemento general xiyj)
    No debe confundirse con el producto escalar.
    Forma cuadrática (si A es simétrica)
    Forma bilineal (llamada simétrica si A es simétrica)

    II.e. Inversión de matrices cuadradas

    Se dice que una matriz cuadrada A es invertible o regular si existe una matriz cuadrada A-1 (llamada matriz inversa) tal que :

    A × A-1 = A-1 × A = I
    Si A-1 no existe, se dice que la matriz A es singular

    Propiedades:

    (A-1)-1 = A

    (AT)-1 = (A-1)T

    (AB)-1 = B-1A-1 (¡Cuidado con el cambio de orden!)

    [diag(Dii)]-1 = diag(1/Dii)

    Se dice que la matriz A es ortogonal si A-1 = AT

    II.f. Determinante de una matriz cuadrada

    Para una matriz de 2 × 2, demostramos que la matriz inversa viene dada por :

    El número ad - bc se llama el determinante de la matriz A, anotado :

    Por tanto, la matriz inversa A-1 sólo existe si det A es distinta de cero.

    La matriz A es singular si det A = 0, regular en caso contrario. Este resultado puede generalizarse a una matriz de cualquier dimensión.

    Propiedades de los determinantes :

    det(AT) = det(A)

    det(AB) = det(A) × det(B)

    El determinante de una matriz triangular o diagonal es igual al producto de los elementos diagonales. En particular, det(I) = 1 (si I es la matriz unitaria)

    Si A es regular, det(A-1) = 1 / det(A)
    ya que det(AA-1) = det(A) × det(A-1) = det(I) = 1

    Si A es ortogonal, det(A) = ±1
    ya que det(AAT) = [det(A)]2 = det(I) = 1

    III. Aplicación a sistemas de ecuaciones lineales

    III.a. Formulación de la matriz

    Un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas es de la forma :

    a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1
    a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2
    ....................................................
    an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn

    donde aij son los coeficientes del sistema, xi las incógnitas y bi los términos constantes.

    Este sistema puede escribirse en forma de matriz:

    Ax = b
    con :

    III.b. Caso de una matriz regular

    Si la matriz A es regular, tenemos, multiplicando por la izquierda por A-1 :

    A-1Ax = A-1b
    Deja..:

    x = A-1b
    Ejemplo :

    Sea el sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas:

    2x1 + 3x2 = 9
    x1 - x2 = 2

    Hemos ido sucesivamente..:

    Sea: x1 = 3, x2 = 1.

    III.c. Caso de una matriz singular

    Cuando la matriz es singular, se pueden considerar dos casos:

    Sistema indeterminado

    Si es posible expresar p ecuaciones en términos de las otras, el sistema tiene un número infinito de soluciones. Podemos retener el vector x que tiene la norma más pequeña.

    El conjunto de soluciones forma un subespacio de dimensión r = n - p en el espacio de dimensión n. El número r es el rango de la matriz.

    Ejemplo :

    x1 + x2 = 3
    2x1 +2x2 = 6
    El determinante es: 1 × 2 - 1 × 2 = 0. La matriz es efectivamente singular.

    La segunda ecuación es igual a la primera multiplicada por 2. De hecho, sólo hay una ecuación: x1 + x2 = 3. Es la ecuación de una recta (espacio de dimensión 1) en el plano (x1, x2). La matriz es de rango 1.

    Sistema imposible

    Si las ecuaciones no pueden expresarse en términos de las demás, el sistema no tiene solución. Sin embargo, se puede calcular un vector x tal que la norma del vector Ax - b sea mínima (aunque no nula). Este vector es la mejor aproximación a la solución en el sentido de los mínimos cuadrados (ver cursos de Estadística).

    Ejemplo :

    x1 + x2 = 3
    2x1 +2x2 = 8

    La segunda ecuación dividida por 2 daría x1 + x2 = 4, lo que es incompatible con la primera ecuación. El sistema no tiene solución.

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